[ml] T검정

T검정

집단이 1개 , 모분산을 알고 있고, 평균을 구하고 싶은 경우

양측 검정이라면 t₀ $\geq$ t_$\alpha/2$ 라면 H₀를 기각한다.
T ~ t (n-1)
예제

문제 : 창던지기 선수의 10회 기록을 조사한 데이터는 다음과 같다.

[ 64 , 64.8 , 66, 63.5, 65, 68, 67 , 63.6, 67.6, 68.9]

창던지기 거리의 평균이 65m가 넘는다는 주장을 유의수준 5%에서 검정 ( 창던지기 거리는 정규분포를 따른다고 가정한다. )

H₀ : $\mu = 65$ H₁ : $\mu \neq 65$
평균 : 65.84 , 표본표준편차 : 1.948
T₀ = $\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ = $\frac{65.84-65}{1.948/ \sqrt{10}}$ = 1.364
T_0.025 ( 9 ) = 2.262
따라서 T₀ < T_0.025 ( 9 ) 으므로 귀무가설을 기각하지 못하여, 평균 창던지기 거리가 65m와 다르다고 할 증거가 없다.
Pvalue = 0.205 ( 유의수준 0.05보다 크므로 귀무가설을 기각할 수 없다. )
- 파이썬에서 pval = stats.t.sf(np.abs( t값 ), n-1)*2 이용.

집단이 2개, 모집단을 모를 경우, 추가가정( 집단간의 분산이 서로 같다, 집단간은 서로 독립적이다. )
- S_p² = ( ( n₁ -1) * S_p²+ ( n₂ -1) * S_p² ) / ( n₁ + n₂ -2)
- V ( 자유도 ) = n₁ + n₂ -2
- T = (( $\bar{X}$ ₁ - $\bar{X}$ ₂ ) - ( $\mu$ ₁ - $\mu$ ₂) ) / ( S_p * $\sqrt{(1/n1)+(1+n2)}$ ) ) ==> ( 계산을 할 경우에는 분자가 ( $\bar{X}$ ₁ - $\bar{X}$ ₂ ) )
집단이 2개, 모집단을 모를 경우, 추가가정( 집단간의 분산이 서로 다르다, 집단간은 서로 독립적이다. )
- T = ( $\bar{X}$ ₁ - $\bar{X}$ ₂ ) - ( $\mu$ ₁ - $\mu$ ₂) / ( $\sqrt{(S_{1}^{2}/n_{1})+(S_{2}^{2}/n_{2})}$ ) )
- V( 자유도 ) = $\frac{((S_{1}^{2}/n_{1})+(S_{2}^{2}/n_{2}))^{2}}{ \frac{(S_{1}^{2}/n_{1})^{2}}{n_{1}-1} + \frac{(S_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{n_{2}-1}}$
두 집단이 서로 독립이라는 것을 가정할 수 없을 경우 ( 쌍체 T검정 - 대응표본T검정 )
- T = $\frac{\bar{D}- \mu_{D}}{S_{D}/\sqrt{n}}$
- t₀ = $\frac{\bar{d}-0}{s_{d}/\sqrt{n}}$
- V (자유도 )= n-1
- 예제
  
  집단1 (음식조절전)= [82.1,78.1,86.2, 84.8,95.2, 91.6, 75.3, 78.5, 83.0,83.5]
  
  집단2(음식조절후) = [80.7,78.1,83.9,83.5,91.2,91.2,72.6,76.2,81.6,81.2]
  - $H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$ , $H_{0} : \mu_{1} > \mu_{2}$
  - 다음 변경되는 D의 가설은 $H_{0} : \mu_{D} = 0$ , $H_{0} : \mu_{D} > 0$
  - n=10
  - 집단 1평균 = 83.83
  - 집단 2 평균 = 82.02
  - $\bar{d}$ = 83.83-82.02 = 1.81
  - $t_{0}$ = $\frac{\bar{d}}{s_{d}/\sqrt{n}}$ = 4.934
  - $t_{0} \geq t_{0.05}(9) =1.833$ 이므로 귀무가설을 기각한다. 즉 음식조절 후에 평균 몸무게가 음식조절전에 줄었다는 증거가 있다. 음식조절법이 효과가 있음을 뒷받침한다.

t검정_image_1

참고 자료

https://stackoverflow.com/questions/17559897/python-p-value-from-t-statistic

Book - 통계학개론 - 강기훈

RiverZayden

AI Data Scientist

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